احصاء/ مقاييس النزعة المركزية

 

 الطالبة : أسماء القحطاني – تربية إسلامية – المستوى 2

مادة الإحصاء... "مقاييس النزعة المركزية ( المتوسط- الوسيط- المنوال )"

مقاييس النزعة المركزية تهتم بتلخيص أهم صفات البيانات الرقمية في عدد واحد يرمز لها ويدل عليها وقد يوضح هذا العدد نزعة البيانات إلى التجمع أو نزعتها إلى التشتت .

ومن أهم مقاييس النزعة المركزية :

المتوسط – الوسيط – المنوال

1- المتوسط الحسابي mean :

عبارة عن حاصل جمع القيم ÷ عددها ، ويشير إلى درجة واحدة تعبر عن كل الأفراد أو القيم .

مزايا المتوسط :

1- أهم مقاييس النزعة المركزية لأنه يستخدم في حساب معالجات أخرى 2- يأخذ كل القيم في الاعتبار عند حسابه 3- يمكن حسابه بعدة طرق 4- سهل في الحساب 5- لا يتأثر بإعادة ترتيب توزيع الفئات .

عيوبه :

1- يتأثر بالقيم المتطرفة 2- يصعب حسابه بالجداول المفتوحة 3- لا يصلح مع البيانات المتمركزة في أحد طرفي التوزيع ( الملتوية ) 4- لا يصلح مع البيانات الرتبية والإسمية .

الوسيط median :

هو النقطة التي تقع في منتصف توزيع الدرجات بحيث يسبقها نصف عدد الدرجات ويتلوها النصف الآخر بعد ترتيب القيم ( تصاعدياً أو تنازلياً ) ويكون عدد القيم التي تقع فوق الوسيط مساوي لعدد القيم التي تقع أسفلها .

مزايا الوسيط :

1- سهل الحصول عليه 2- لا يتأثر بالجداول المفتوحة 3- أفضل مقياس في حالة البيانات الملتوية   4-  أفضل مقياس في حالة وجود بيانات متفرقة .

عيوبه :

يتأثر بالدرجات التي توجد بالمنتصف .

المنوال :

يمثل المنوال القيمة الأكثر شيوعاً ، فهو النقطة التي تدل على أكثر درجات التوزيع تكراراً ، وهو من أقل مقاييس النزعة المركزية دقة .

أهميته :

يستخدم في الميدان التربوي لمعرفة العمر المنوالي لفئة من الطلاب أو نسبة من الذكاء المنوالية أو المعدل التحصيلي المنوالي .

عيوبه :

1- يتأثر بعدد فئات التوزيع وطول الفئة 2- قد يحتوي التوزيع الواحد على أكثر من منوال .

احسبي المتوسط والوسيط والمنوال :

قد تكون بهذا الشكل :

7-8-10-15-9-8-11-12-9-11-11

 

 

 

أو  بشكل جدول :

ن	القيم
1	7
2	8
3	10
4	15
5	9
6	8
7	11
8	12
9	9
10	11
11	11
مجــــــــ	111

 

مجـــــــــ القيم	= 111	10.09
عدد القيم	11

م =

 

الوسيط : 1- ترتيب القيم  7-8-8-9-9-10-11-11-11-12-15

ن + 1	= 11 + 1	= 6
2	2

ثم أسال نفسي هل هي قيم زوجية أو فردية .

2- رتبة الوسيط في حالة عدد القيم الفردية =

 

الوسيط = 10

المنوال هو الرقم الأكثر شيوعاً = 11

تطبيق :

احسبي المتوسط والوسيط والمنوال :

7	8	8	9	9	10	11	11	12	15
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

رتبة الوسيط في حالة عدد القيم الزوجية =نلاحظ أن عدد القيم 10 نقوم بقسمتها على 2

10÷ 2 = 5

إذن فالرقمين 9 – 10 هم الوسيط

19	= 9.5
2

نقوم بجمعهم 9 + 10 = 19 ثم نقسمه على 2

 

مثال آخر للزوجي :

2

3

4

5

5

6

 

ن	= 6	= 3
2	2

 

 

4+5	= 9	= 4.5
2	2

 

 

 

 

 

تمرين :

ن	القيم
1	4
2	6
3	5
4	7
5	6
6	4
7	4
8	8
9	9
مجــــــــ	53

 

مجــــ القيم	= 53	= 5.8
عدد القيم	9

المتوسط = 

 

الوسيط =

1- ترتيب القيم 4-4-4-5-6-6-7-8-9

ن + 1	= 9+1	= 5
2	2

 

 

الوسيط = 6

 

 

احسبي متوسط القيم التالية :

ف	ك	س	ك × س
5-9	2	7	14
10-14	4	12	48
15-19	8	17	136
20-24	4	22	88
25-29	2	27	54
مجـــــــ	20		340

 

مجــــ (ك × س)	= 340	= 17
مجـــــــــ ك	20

م =

 

تمرين : احسبي المتوسط :

ف	ك	س	ك × س
10- 19	2	14.5	29
20- 29	3	24.5	73.5
30- 39	5	34.5	172.5
40- 49	4	44.5	178
50- 59	6	54.5	327
مجـــــــ	20		780

 

مجــــ (ك × س)	= 780	= 39
مجـــــــــ ك	20

 

 

 

الوسيط :

ف	ك	ك ص
20-	2	2
25-	7	9
30-	10	الوسيطية 19
35-	8	27
40-	3	30
45-	5	35
مجــــــــ	35

 

مجـــــــ ك	= 35	= 17.5
2	2

رتبة الوسيط =

 

ابحث عن القيمة الأقرب لرتبة الوسيط في ك ص وتصبح هي الوسيطية

رتبة الوسيط-ك ص السابق	× طول الفئة
ك الوسيطية

 

الوسيط = الحد الأدنى الحقيقي للفئة الوسيطية +

=29.5 +	17.5- 9	× 5
	10

 

 

=29.5 +	=8.5	× 5
	10

 

 

                          = 29.5 + 0.85 × 5 = 29.5 +4.25 =33.75

 

المنوال :

ف	ك
5-9	2
10-14	5
15-19	8
20-24	المنوالية 12
25-29	9
30-34	7
35-39	2
مجـــــــــ

القيمة التي أخذت أكبر عدد تكرار هي المنوال ويصبح المنوال هنا هو 12

ك بعد المنوال	× طول الفئة
ك قبل +ك بعد المنوالية

 

المنوال = الحد الأدنى الحقيقي للفئة المنوالية +

 

9	× 5
8+9

= 19.5 +

 

=19.5 + 0.529 × 5

= 19.5 + 2.645 = 22.145

 

 

 

تطبيق :

ف	ك
10-	2
20-	4
30-	المنوالية 8
40-	5
50-	3
مجــــــــ	22

 

ك بعد المنوال	× طول الفئة
ك قبل +ك بعد المنوالية

المنوال = الحد الأدن الحقيقي للفئة المنوالية +

 

5	× 10
4+5

 

=29.5 +

 

= 29.5 + ( 55× 10)

= 29.5 + 5.5 = 35

 

 

 

 

 

تطبيق : احسبي الوسيط :

ف	ك	ك ص
10-	2	2
20-	4	6
30-	8	14
40-	5	19
50-	3	22
مجــــــــ	22

 

رتبة الوسيط = مجـــــــــــ ك = 22 = 11

مجـــــــــــ ك	=22	11
2	2

        

 

رتبة الوسيط-ك ص السابق	× طول الفئة
ك الوسيطية

 

الوسيط = الحد الأدنى الحقيقي للفئة الوسيطية +

11-6	× 10
8

 

= 29.5 +

5	× 10
8

 

=29.5 +

= 29.5 + 0.625 × 10

= 29.5 + 6.25 = 35.75

 

الواجب :

احسبي المتوسط والوسيط والمنوال :

ف	ك
2-	2
7-	4
12-	3
17-	5
22-	9
27-	4
مجـــــــــــــــ	27

 

احسبي المتوسط والوسيط والمنوال :

ن	القيم
1	4
2	6
3	8
4	4
5	9
6	11
7	9
8	4
9	6
مجــــــــــ	؟

 

 

تطبيقات إضافية : احسبي المتوسط والوسيط والمنوال في كل من الجداول التالية :

 

ف	ك
5 – 10	5
11 – 16	7
17- 22	2
23 – 28	3
29 – 34	6
35 – 40	9
مجـــــــــــــــ	32

 

 

 

 

 

ف	ك
5- 9	2
10- 14	9
15-19	3
20-24	4
25-29	6
30-34	1
مجـــــــــــــــ	25

 

تطبيقات إضافية : احسبي المتوسط والوسيط والمنوال في كل من الجداول التالية :

 

ن	القيم
1	6
2	8
3	2
4	3
5	9
6	14
7	5
8	4
مجــــــــــ	51

 

 

 

ن	القيم
1	4
2	7
3	3
4	6
5	9
6	12
7	8
مجــــــــــ	49